在数学中，方阵问题是一个常见的领域，涉及矩阵的各种性质和运算。方阵是指行数和列数相等的矩阵，其研究在代数、几何以及物理等领域都有广泛的应用。以下是关于方阵问题的一些重要公式。

1. 方阵的行列式

对于一个n×n的方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，它是衡量方阵的一个标量值。行列式的计算方法包括但不限于：

- 对角线法则（适用于2×2和3×3矩阵）。

- 展开定理：通过某一行或某一列展开，递归地计算子矩阵的行列式。

2. 矩阵的逆

如果方阵A可逆，则其逆矩阵A⁻¹满足AA⁻¹ = A⁻¹A = I，其中I为单位矩阵。求逆的方法有：

- 伴随矩阵法：A⁻¹ = (1/|A|)·adj(A)，其中adj(A)是A的伴随矩阵。

- 高斯消元法：通过初等变换将A化为单位矩阵，对应的变换序列即为A⁻¹。

3. 特征值与特征向量

设λ为方阵A的特征值，v为相应的特征向量，则满足Av = λv。求解特征值和特征向量的过程如下：

- 计算特征多项式p(λ) = |A - λI|。

- 求解特征多项式的根得到特征值λ。

- 对每个特征值λ，解方程(A - λI)v = 0得到对应的特征向量v。

4. 矩阵的幂

对于方阵A，其幂A^n可以通过以下方式计算：

- 当A可对角化时，利用对角化公式A = PDP⁻¹，其中D是对角矩阵，P是由A的特征向量组成的矩阵，那么A^n = PD^nP⁻¹。

- 直接乘法计算，适用于小规模矩阵。

5. 矩阵的秩

方阵A的秩rank(A)表示A中线性无关行（或列）的最大数目。计算秩的方法包括：

- 行列式法：若某个k阶子式的行列式不为零而所有更高阶子式的行列式均为零，则rank(A) = k。

- 初等变换法：通过行变换或列变换简化矩阵至阶梯形，非零行的数量即为rank(A)。

6. 矩阵的迹

方阵A的迹tr(A)定义为其主对角线上元素之和。迹具有以下性质：

- tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

- tr(kA) = k·tr(A)，其中k为常数

- tr(AB) = tr(BA)

这些基本公式构成了处理方阵问题的基础工具箱。熟练掌握它们不仅能够帮助解决具体的数学问题，还能为进一步学习更复杂的数学理论打下坚实基础。