在概率论与数理统计中，指数分布是一种常见的连续概率分布，广泛应用于描述事件发生的时间间隔。例如，在排队论、可靠性分析以及通信系统等领域，指数分布都具有重要的应用价值。
指数分布的概率密度函数（PDF）定义为：
\[ f(x; \lambda) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0, \\
0, & x < 0,
\end{cases} \]
其中，\(\lambda > 0\) 是分布的参数，表示单位时间内的事件发生率。
接下来我们来探讨指数分布的两个重要特征——期望值和方差。
指数分布的期望值
指数分布的数学期望 \(E[X]\) 可以通过积分计算得出：
\[ E[X] = \int_{0}^{\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx \]
利用分部积分法进行求解，令 \(u = x\) 和 \(dv = \lambda e^{-\lambda x} dx\)，则有 \(du = dx\) 和 \(v = -e^{-\lambda x}\)。代入后得到：
\[ E[X] = \left[ -x e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x} dx \]
注意到当 \(x \to \infty\) 时，\(x e^{-\lambda x} \to 0\)；而在 \(x=0\) 处，第一项也为零。因此，上述表达式简化为：
\[ E[X] = \frac{1}{\lambda} \]
所以，指数分布的期望值为 \(\frac{1}{\lambda}\)，即平均等待时间为 \(\frac{1}{\lambda}\)。
指数分布的方差
同样地，为了求得方差 \(Var(X)\)，我们需要先计算二阶矩 \(E[X^2]\)：
\[ E[X^2] = \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx \]
再次使用分部积分法，设 \(u = x^2\) 和 \(dv = \lambda e^{-\lambda x} dx\)，则 \(du = 2x dx\) 和 \(v = -e^{-\lambda x}\)。经过一系列运算后可以得到：
\[ E[X^2] = \frac{2}{\lambda^2} \]
根据方差公式 \(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2\)，我们可以进一步推导出：
\[ Var(X) = \frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2} \]
综上所述，指数分布的方差为 \(\frac{1}{\lambda^2}\)。
总结来说，对于一个参数为 \(\lambda\) 的指数分布而言，其期望值为 \(\frac{1}{\lambda}\)，而方差则为 \(\frac{1}{\lambda^2}\)。这两个公式不仅帮助我们更好地理解指数分布在实际问题中的表现，同时也为我们提供了强有力的工具来进行相关领域的数据分析与建模工作。
