【8个常用泰勒公式有哪些】在数学中，泰勒公式是将一个函数表示为无穷级数的一种方法，常用于近似计算、分析函数性质等。掌握一些常用的泰勒公式对学习高等数学、物理、工程等学科非常有帮助。以下是8个常见的泰勒公式，适用于不同的函数和展开点。
一、
泰勒公式的基本形式是：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $R_n(x)$ 是余项。当 $a=0$ 时，泰勒公式也称为麦克劳林公式。
以下列出的是在 $x=0$ 处的泰勒展开（即麦克劳林展开）中最常见的8个函数的泰勒级数，适用于初等函数的近似计算与理论分析。
二、表格展示
| 序号 | 函数名称 | 泰勒展开式（x=0处） | 收敛区间 | ||
| 1 | $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 2 | $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 3 | $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| 4 | $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$ | $-1 < x \leq 1$ | ||
| 5 | $\arctan x$ | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$ | $-1 \leq x \leq 1$ | ||
| 6 | $\arcsin x$ | $x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5} + \cdots$ | $-1 \leq x \leq 1$ | ||
| 7 | $(1+x)^k$ | $1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots$ | $ | x | < 1$ |
| 8 | $\tan x$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$ | $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ |
三、说明
以上公式均是以 $x=0$ 为中心的泰勒展开，适用于大多数初等函数。在实际应用中，可以根据需要选择适当的展开项进行近似计算。例如，在 $x$ 很小时，$\sin x \approx x$ 或 $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ 等都是常见近似方式。
此外，某些函数如 $\ln(1+x)$、$\arctan x$ 等的展开仅在特定区间内收敛，使用时需要注意其定义域范围。
通过掌握这些基本的泰勒展开式，可以更方便地进行数学分析、数值计算以及工程问题的建模与求解。
