【量子力学所有的计算公式】量子力学是描述微观粒子运动规律的物理学分支，其核心内容由一系列数学公式构成。这些公式不仅构成了理论体系的基础，也是实验验证和应用技术的重要工具。本文将对量子力学中常见的计算公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅与理解。
一、基本概念与公式
| 公式 | 说明 | |
| $ \hat{H} \psi = E \psi $ | 薛定谔方程（含时或不含时） | |
| $ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) $ | 哈密顿算符，表示系统总能量 | |
| $ \langle \psi | \psi \rangle = 1 $ | 波函数归一化条件 |
| $ \hat{p} = -i\hbar \nabla $ | 动量算符 | |
| $ \hat{x} = x $ | 位置算符 | |
| $ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar $ | 对易关系 |
二、波函数与概率
| 公式 | 说明 | ||
| $ P(x) = | \psi(x) | ^2 $ | 在位置x处找到粒子的概率密度 |
| $ \langle A \rangle = \int \psi^ \hat{A} \psi \, dV $ | 算符A的期望值 | ||
| $ \Delta A = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2} $ | 算符A的不确定度 | ||
| $ \psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int e^{i p x / \hbar} \phi(p) dp $ | 波函数与动量空间的傅里叶变换关系 |
三、角动量与自旋
| 公式 | 说明 |
| $ \hat{L} = \mathbf{r} \times \hat{\mathbf{p}} $ | 角动量算符 |
| $ L^2 \psi = \hbar^2 l(l+1)\psi $ | 角动量平方的本征值 |
| $ L_z \psi = m\hbar \psi $ | z方向角动量的本征值 |
| $ S^2 \psi = \hbar^2 s(s+1)\psi $ | 自旋角动量平方的本征值 |
| $ S_z \psi = m_s \hbar \psi $ | 自旋z分量的本征值 |
四、时间演化与散射
| 公式 | 说明 | ||
| $ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \psi(\mathbf{r}, t) $ | 含时薛定谔方程 | ||
| $ \psi(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} \psi(0) $ | 时间演化算符 | ||
| $ T(E) = \left | \frac{f(k)}{g(k)} \right | ^2 $ | 透射系数（一维势垒） |
| $ R(E) = 1 - T(E) $ | 反射系数 |
五、多体系统与对称性
| 公式 | 说明 |
| $ \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \pm \psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1) $ | 波函数的对称性（费米子/玻色子） |
| $ \hat{P}_{ij} \psi = \pm \psi $ | 交换算符作用于多粒子态 |
| $ \hat{S}_{ij} \psi = \frac{1}{2} (1 \pm \hat{P}_{ij}) \psi $ | 对称化与反对称化算符 |
| $ \psi = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} \psi_{\sigma(1)}(\mathbf{r}_1) \cdots \psi_{\sigma(N)}(\mathbf{r}_N) $ | 多粒子态的构造（费米子） |
六、约化与近似方法
| 公式 | 说明 |
| $ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega $ | 一维谐振子能级 |
| $ \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} e^{-m\omega x^2/(2\hbar)} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) $ | 谐振子波函数 |
| $ E_0 = -\frac{m e^4}{2\hbar^2} \frac{1}{n^2} $ | 氢原子基态能量 |
| $ \psi_{nlm}(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi) $ | 氢原子波函数分解 |
七、其他重要公式
| 公式 | 说明 | ||
| $ \hat{U} = e^{-i \hat{H} t/\hbar} $ | 单位时间演化算符 | ||
| $ \hat{Q} = \frac{1}{2} (\hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x}) $ | 有序化算符（用于路径积分） | ||
| $ \rho = \sum_i p_i | \psi_i\rangle \langle \psi_i | $ | 密度矩阵（混合态） |
| $ \text{Tr}(\rho) = 1 $ | 密度矩阵的归一化条件 |
总结
量子力学的公式体系涵盖了从基本假设到具体应用的广泛内容。通过上述表格，我们可以清晰地看到不同物理量之间的数学关系及其在不同情境下的应用方式。虽然量子力学的公式繁多，但它们共同构建了描述微观世界的理论框架，为现代物理、化学、材料科学等提供了坚实的理论基础。
