【三角函数基本公式大全】在数学学习中，三角函数是基础而重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式对于理解和解决相关问题至关重要。本文将系统总结常见的三角函数基本公式，并以表格形式进行归纳，便于查阅和记忆。
一、基本定义公式
三角函数是基于直角三角形或单位圆定义的，主要包括六个基本函数：正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。它们的定义如下：
| 函数名称 | 定义式（直角三角形） | 定义式（单位圆） |
| 正弦 | 对边 / 斜边 | y |
| 余弦 | 邻边 / 斜边 | x |
| 正切 | 对边 / 邻边 | y/x |
| 余切 | 邻边 / 对边 | x/y |
| 正割 | 斜边 / 邻边 | 1/x |
| 余割 | 斜边 / 对边 | 1/y |
二、同角三角函数关系式
同角三角函数之间存在多种相互关系，这些关系有助于简化计算和推导。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα；cotα = cosα / sinα |
| 倒数关系 | secα = 1 / cosα；cscα = 1 / sinα |
三、诱导公式（角度变换）
诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，适用于不同象限的角度转换。
| 角度变化 | 三角函数值变化 |
| sin(π - α) | sinα |
| cos(π - α) | -cosα |
| tan(π - α) | -tanα |
| sin(π + α) | -sinα |
| cos(π + α) | -cosα |
| tan(π + α) | tanα |
| sin(2π - α) | -sinα |
| cos(2π - α) | cosα |
| tan(2π - α) | -tanα |
四、和差角公式
用于计算两个角度的和或差的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差公式 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差公式 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角与半角公式
倍角公式用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值，半角公式则用于计算角的一半的三角函数值。
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2α = 2sinα cosα |
| 余弦倍角公式 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角公式 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
| 正弦半角公式 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角公式 | tan(α/2) = (1 - cosα)/sinα = sinα/(1 + cosα) |
六、积化和差与和差化积公式
这些公式用于将乘积形式的三角函数转换为和差形式，或反之。
| 公式类型 | 公式表达式 |
| 积化和差 | sinα cosβ = [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 cosα cosβ = [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 sinα sinβ = [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
七、反三角函数简介
反三角函数是三角函数的逆函数，常用于求解角度。
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| arcsin | y = arcsin(x) | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos | y = arccos(x) | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan | y = arctan(x) | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
总结
三角函数作为数学的重要组成部分，其基本公式构成了许多复杂问题的基础。通过掌握上述公式，可以更高效地进行三角函数的运算和应用。建议结合实际题目进行练习，加深对公式的理解与运用能力。
