【黄金分割法基本原理】黄金分割法是一种在数学和工程中广泛应用的优化方法，主要用于单变量函数的最优化问题。它通过不断缩小搜索区间，逐步逼近最优解。该方法基于黄金分割比例（约为0.618），具有收敛速度快、计算简单等优点。
一、黄金分割法的基本原理
黄金分割法的核心思想是：在给定的区间内，利用黄金分割点将区间分为两部分，然后根据函数值的大小关系，舍弃不含极值的一侧，保留含极值的一侧，重复这一过程，直到满足精度要求。
黄金分割比为：
$$
\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618
$$
在每次迭代中，算法会保留一个长度为原区间的0.618倍的新区间，因此被称为“黄金分割法”。
二、黄金分割法的步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定初始区间 $[a, b]$，并设定精度要求 $\epsilon$。 |
| 2 | 计算两个内部点：$x_1 = a + (1 - r)(b - a)$，$x_2 = a + r(b - a)$，其中 $r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$。 |
| 3 | 计算函数值 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$。 |
| 4 | 比较 $f(x_1)$ 和 $f(x_2)$ 的大小： - 若 $f(x_1) < f(x_2)$，则新区间为 $[a, x_2]$； - 若 $f(x_1) > f(x_2)$，则新区间为 $[x_1, b]$。 |
| 5 | 重复步骤2至4，直到区间的长度小于 $\epsilon$。 |
| 6 | 最终取区间中点作为近似最优解。 |
三、黄金分割法的特点
| 特点 | 说明 |
| 收敛性 | 收敛速度较快，适用于单峰函数。 |
| 稳定性 | 不依赖导数信息，计算稳定。 |
| 简单性 | 实现简单，适合编程实现。 |
| 局限性 | 仅适用于单变量函数，且要求目标函数在区间内为单峰函数。 |
四、适用场景
- 数学建模中的最优化问题；
- 工程设计中的参数优化；
- 金融领域中的投资组合优化；
- 机器学习中的超参数调优（如学习率调整）。
五、总结
黄金分割法是一种高效、实用的单变量优化方法，其核心在于利用黄金分割比例不断缩小区间范围，从而快速逼近最优解。虽然其应用范围有限，但在许多实际问题中表现出良好的性能和稳定性。掌握其基本原理和操作步骤，有助于在实际问题中灵活运用该方法。
