【等比乘等差的前n项和】在数列的学习中，常见的数列类型包括等差数列、等比数列以及它们的组合形式。其中，“等比乘等差”的数列是指每一项是由一个等差数列与一个等比数列对应相乘得到的数列。例如：若等差数列为 $ a_n = a + (n-1)d $，等比数列为 $ b_n = ar^{n-1} $，则“等比乘等差”的数列为 $ c_n = [a + (n-1)d] \cdot ar^{n-1} $。
这类数列的前n项和是数学中较为复杂的一种求和问题，通常需要通过错位相减法或其他代数技巧来解决。以下是对这一类数列前n项和的总结及计算公式整理。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 等差数列 | 通项为 $ a_n = a + (n-1)d $，公差为d |
| 等比数列 | 通项为 $ b_n = ar^{n-1} $，公比为r |
| 等比乘等差数列 | 通项为 $ c_n = [a + (n-1)d] \cdot ar^{n-1} $ |
二、前n项和公式推导思路
对于数列 $ c_n = [a + (n-1)d] \cdot r^{n-1} $，其前n项和记为 $ S_n $，即：
$$
S_n = \sum_{k=1}^{n} [a + (k-1)d] \cdot r^{k-1}
$$
可以通过错位相减法进行求解。具体步骤如下：
1. 写出 $ S_n $ 的表达式；
2. 将 $ S_n $ 乘以公比 $ r $，得到 $ rS_n $；
3. 用 $ S_n - rS_n $ 进行消元，化简后得到 $ S_n $ 的表达式。
三、常见情况下的前n项和公式
| 情况 | 数列通项 | 前n项和公式 |
| 一般形式 | $ c_n = [a + (n-1)d] \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} + \frac{dr(1 - (n+1)r^n + nr^{n+1})}{(1 - r)^2} $ |
| 当 $ r = 1 $ | $ c_n = a + (n-1)d $ | $ S_n = na + d\frac{n(n-1)}{2} $ |
| 当 $ a = 0 $ | $ c_n = (n-1)d \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = d \cdot \frac{r(1 - (n+1)r^n + nr^{n+1})}{(1 - r)^2} $ |
| 当 $ d = 0 $ | $ c_n = a \cdot r^{n-1} $ | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ |
四、使用示例
假设我们有数列 $ c_n = (1 + (n-1) \cdot 2) \cdot 3^{n-1} $，即 $ c_n = (2n - 1) \cdot 3^{n-1} $，求前5项和。
根据公式：
$$
S_5 = \frac{1(1 - 3^5)}{1 - 3} + \frac{2 \cdot 3(1 - 6 \cdot 3^5 + 5 \cdot 3^6)}{(1 - 3)^2}
$$
计算得：
$$
S_5 = \frac{1 - 243}{-2} + \frac{6(1 - 6 \cdot 243 + 5 \cdot 729)}{4}
$$
$$
S_5 = 121 + \frac{6(1 - 1458 + 3645)}{4} = 121 + \frac{6 \cdot 2188}{4} = 121 + 3282 = 3403
$$
五、总结
“等比乘等差”的数列前n项和是一个具有挑战性的数学问题，但通过合理的代数方法可以得出通用公式。掌握这一类数列的求和方法，有助于提升对数列结构的理解和应用能力。在实际问题中，应根据具体参数选择合适的公式进行计算。
注：以上内容为原创整理，适用于高中或大学初等数学学习，旨在帮助理解数列求和的基本原理与方法。
