排列组合基本公式
【排列组合基本公式】在数学中，排列与组合是研究从一组元素中选取部分或全部元素进行有序或无序排列的两种基本方法。它们广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。掌握排列组合的基本公式，有助于解决实际问题中的选择与排序问题。
一、排列与组合的区别
| 概念 | 定义 | 是否考虑顺序 |
| 排列（Permutation） | 从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列 | 是 |
| 组合（Combination） | 从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序 | 否 |
二、排列的基本公式
1. 全排列：从n个不同元素中取出n个元素的排列数，记作 $ P(n, n) = n! $
2. 部分排列：从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 $ P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!} $
示例：
从5个不同的数字中选出3个进行排列，共有 $ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60 $ 种方式。
三、组合的基本公式
从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作 $ C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!} $
示例：
从5个不同的数字中选出3个进行组合，共有 $ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 \times 2} = 10 $ 种方式。
四、排列与组合的关系
组合是从排列中去除顺序因素后的结果。因此，有以下关系：
$$
C(n, m) = \frac{P(n, m)}{m!}
$$
即：组合数等于排列数除以所选元素的全排列数。
五、常见排列组合公式总结表
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 全排列 | $ P(n, n) = n! $ | 从n个元素中取出n个进行排列 |
| 部分排列 | $ P(n, m) = \frac{n!}{(n - m)!} $ | 从n个元素中取出m个进行排列 |
| 组合 | $ C(n, m) = \frac{n!}{m!(n - m)!} $ | 从n个元素中取出m个不考虑顺序 |
| 组合与排列关系 | $ C(n, m) = \frac{P(n, m)}{m!} $ | 组合数是排列数除以所选元素的排列数 |
六、应用举例
问题1：某班级有8名学生，从中选出3人担任班委，有多少种不同的选法？
解：这是组合问题，使用 $ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{40320}{6 \times 120} = 56 $ 种。
问题2：用数字1到5组成三位数，每个数字只能用一次，能组成多少个不同的三位数？
解：这是排列问题，使用 $ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60 $ 个。
七、小结
排列和组合是数学中重要的计数工具，理解它们的定义和公式，有助于我们在实际问题中准确计算可能的情况数量。排列关注顺序，组合不关注顺序，两者之间存在明确的数学关系，便于相互转换与应用。